원 $C$ 의 중심은 직선 $y=x-6$ 위에 있으므로 중심의 좌표를 $(a,\ a-6)$ 이라 하자.

원 $C$ 가 두 점 $(6,\ 2)$, $(8,\ 4)$ 를 지나므로 중심에서 두 점까지의 거리가 같다. 즉

$(6-a)^2+\{2-(a-6)\}^2=(8-a)^2+\{4-(a-6)\}^2$

에서

$(6-a)^2+(8-a)^2=(8-a)^2+(10-a)^2$

이므로 $(6-a)^2=(10-a)^2$ 이고

$36-12a=100-20a$

에서 $a=8$ 이다.

따라서 원 $C$ 의 중심은 $(8,\ 2)$ 이고 반지름의 길이는 $\sqrt{(6-8)^2+(2-2)^2}=2$ 이므로

$C : (x-8)^2+(y-2)^2=4$

이다. 원 $C$ 를 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이동한 원을 $C'$ 이라 하면 $C' : (x-2)^2+(y-8)^2=4$ 이므로, 원 $C'$ 의 중심을 $\mathrm{D}$ 라 하면 $\mathrm{D}(2,\ 8)$ 이고 반지름의 길이는 $2$ 이다.

점 $\mathrm{P}$ 를 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{P}'$ 이라 하면 점 $\mathrm{P}'$ 은 원 $C'$ 위에 있고 $\overline{\mathrm{QP}}=\overline{\mathrm{QP}'}$ 이므로

$\overline{\mathrm{AQ}}+\overline{\mathrm{QP}}=\overline{\mathrm{AQ}}+\overline{\mathrm{QP}'} \ge \overline{\mathrm{AP}'} \ge \overline{\mathrm{AD}}-\overline{\mathrm{P}'\mathrm{D}}$

이고, 두 등호는 네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{P}'$, $\mathrm{D}$ 가 이 차례로 한 직선 위에 있을 때 함께 성립한다.

한편

$\overline{\mathrm{AD}}=\sqrt{(2-2)^2+(8-0)^2}=8$

이고 $\overline{\mathrm{P}'\mathrm{D}}=2$ 이므로

$\overline{\mathrm{AQ}}+\overline{\mathrm{QP}} \ge 8-2=6$

이다. 그러므로 구하는 최솟값은 $6$ 이다.

점 $\mathrm{A}$ 를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A}'$ 이라 하면 $\mathrm{A}'(11,\ -2)$ 이고, 점 $\mathrm{R}$가 $x$축 위의 점이므로 $\overline{\mathrm{AR}}=\overline{\mathrm{A}'\mathrm{R}}$ 이다. 따라서

$\overline{\mathrm{AR}}+\overline{\mathrm{RQ}}+\overline{\mathrm{QP}}=\overline{\mathrm{A}'\mathrm{R}}+\overline{\mathrm{RQ}}+\overline{\mathrm{QP}} \ge \overline{\mathrm{A}'\mathrm{Q}}+\overline{\mathrm{QP}}$

…… ㉠ 이고, ㉠ 의 등호는 점 $\mathrm{R}$가 선분 $\mathrm{A}'\mathrm{Q}$ 위에 있을 때 성립한다.

점 $\mathrm{A}'$ 을 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A}''$ 이라 하면 $\mathrm{A}''(-2,\ 11)$ 이고, 점 $\mathrm{Q}$ 가 직선 $y=x$ 위의 점이므로 $\overline{\mathrm{A}'\mathrm{Q}}=\overline{\mathrm{A}''\mathrm{Q}}$ 이다. 따라서

$\overline{\mathrm{A}'\mathrm{Q}}+\overline{\mathrm{QP}}=\overline{\mathrm{A}''\mathrm{Q}}+\overline{\mathrm{QP}} \ge \overline{\mathrm{A}''\mathrm{P}}$

…… ㉡ 이고, ㉡ 의 등호는 점 $\mathrm{Q}$ 가 선분 $\mathrm{A}''\mathrm{P}$ 위에 있을 때 성립한다.

원 $C$ 의 중심을 $\mathrm{D}$, 반지름의 길이를 $r$ 이라 하면 $\mathrm{D}(10,\ 5)$, $r=\sqrt{5}$ 이고, 삼각형 $\mathrm{A}''\mathrm{PD}$ 에서

$\overline{\mathrm{A}''\mathrm{P}} \ge \overline{\mathrm{A}''\mathrm{D}}-\overline{\mathrm{PD}}$

…… ㉢ 이고, ㉢ 의 등호는 점 $\mathrm{P}$ 가 선분 $\mathrm{A}''\mathrm{D}$ 위에 있을 때 성립한다.

한편

$\overline{\mathrm{A}''\mathrm{D}}=\sqrt{\{10-(-2)\}^2+(5-11)^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$

이므로 ㉠, ㉡, ㉢ 에서

$\overline{\mathrm{AR}}+\overline{\mathrm{RQ}}+\overline{\mathrm{QP}} \ge 6\sqrt{5}-\sqrt{5}=5\sqrt{5}$

이다. 실제로 선분 $\mathrm{A}''\mathrm{D}$ 가 원 $C$ 와 만나는 점 $\mathrm{P}(8,\ 6)$, 선분 $\mathrm{A}''\mathrm{P}$ 가 직선 $y=x$ 와 만나는 점 $\mathrm{Q}\!\left(\frac{20}{3},\ \frac{20}{3}\right)$, 선분 $\mathrm{A}'\mathrm{Q}$ 가 $x$축과 만나는 점 $\mathrm{R}(10,\ 0)$ 을 잡으면 세 등호가 모두 성립한다.

그러므로 구하는 최솟값은 $5\sqrt{5}$ 이다.